Gabarito TCU extraoficial: questões de Matemática Financeira

Olá, pessoal! Hoje, foram aplicadas as provas do concurso TCU. Neste artigo, vamos corrigir as questões de Matemática Financeira:

RESOLUÇÃO:

Sendo P a primeira prestação, o seu valor presente é:

VP P1 = P / 1,04

A segunda prestação é obtida multiplicando-se a primeira por 1,027 para considerar o acréscimo de 2,7%:  P x 1,027

O seu valor presente será obtido por:

VP P2 = P x 1,027 / 1,4²

ou seja,

VP P2 = (P / 1,04) x (1,027 / 1,4)

A terceira prestação sera de P x 1,027². Seu valor presente será:

VP P3 = P x 1,027² / 1,04³

ou seja,

VP P3 = (P/1,04) x (1,027/1,04)²

E assim por diante. Observando os valores presentes, vemos uma PG com termo inicial P/1,04 e razão 1,027/1,04. Os 12 termos desta PG, correspondentes aos 12 pagamentos, devem ter uma soma (a valor presente) de 10450 / 0,95 = 11000.

Assim, na fórmula da soma da PG:

Sn = a1 * (qⁿ – 1) / (q – 1)

S12 = P/1,04 * ((1,027/1,04)¹² – 1) / ((1,027/1,04) – 1)

11000 = P * (1,4/1,6 – 1) / ((1,027/1,04) – 1) / 1,04

P = 1144

GABARITO: B

RESOLUÇÃO:

É preciso fazer depósitos anuais iguais a P durante n = 5 anos à taxa i = 5%aa para obter um valor futuro VF = 50.400.

s(n,i) = [(1+i)^t – 1] / i

s(5,5%) = [(1+5%)^5 – 1)] / 5%

s(5,5%) = (1,28 – 1)/0,05 = 5,6

O valor a ser depositado a cada ano é:

VF = s(n,i) x P

50400 = 5,6 x P

P = 9000

Portanto, a cada ano é preciso depositar 9.000 e pagar 5.040 de juros (taxa de 10%aa), totalizando desembolsos anuais de 14.040 durante 5 anos.

Para obter a taxa de juros, podemos observar que estamos diante do sistema francês, com 5 desembolsos anuais iguais de 14.040 e valor presente VP = 50400. Temos:

VP = P x a(n,j)

50400 = 14040 x a(5,j)

a(5,j) = 3.589

Na tabela dada, este valor está entre as taxas de 12% e 13%:

GABARITO: E

RESOLUÇÃO:

Obtendo o valor inicial da dívida (VP) no financiamento de 36 prestações antecipadas de 3.000 reais com taxa de 3%am:

a(n,i) = (1 – (1+i)^-n) / i

a(36, 3%) = (1 – (1,03)^-36) / 0.03

1.03^-36 = (1.03^-12)³ = 0.7³ = 0.343

Logo,

a(36,3%) =  (1 – 0.343)/0.03 = 21.9

VP = 21.9 x 3.000 = 65.700

Este seria o valor presente se o financiamento fosse postecipado. Como ele é antecipado, o valor presente acaba sendo acrescido em 3%, pois todas as prestações são pagas um período antes. Ficamos com:

VP antecipado = 1,03 x 65.700 = 67.671

Como os dois financiamentos são indiferentes entre si, podemos considerar este mesmo valor presente para o segundo.

Nele, temos dois pagamentos na data inicial, um de 10.000 e outro de 5.000, totalizando 15.000. Temos ainda mais dois pagamentos de 5.000 reais, um após 1 ano e outro após 2 anos. Trazendo-os a valor presente:

5000 / (1,03)^12  + 5000 / (1,03)^24 =

5000×0,7 + 5000×0,7² = 5950 reais

Resta, para o financiamento de 36 meses, o valor presente de:

67.671 – 10.000 – 5.000 – 5.950 =

46.721 reais

Este é o valor que precisará ser financiado.

GABARITO: C

Se a TMA for menor do que 11%, o projeto Y será preferível, pois a princípio é ele que permite o investimento de um valor maior (por isso o diferencial é Y – X, e não X – Y).

Portanto, para que X seja preferível a Y, é preciso que a TMA seja maior do que 11%.

Além disso, se a TMA for superior a 15%, nem mesmo o projeto X será atrativo, pois sua TIR é de 15%.

Assim, o projeto X é preferível para TMA entre 11% e 15%.

GABARITO: D

RESOLUÇÃO:

Imagine que pegamos um empréstimo de 1 mil reais (1.000 reais). A taxa de abertura de crédito será de 5% disto, ou seja, 50 reais, e deve ser paga no ato.

Além disso, o valor de 1.000 reais renderá juros compostos durante os dois meses. A amortização mensal é de 1.000 / 2 = 500 reais. As prestações pagas são:

P1 = 500 + 1.000*5% = 550 reais

P2 = 500 + 500*5% = 525 reais

Portanto, nós saímos do banco com 950 reais, mas precisamos pagar uma prestação de 550 e depois uma prestação de 525. Podemos calcular a taxa j que iguala os valores presentes:

950 = 550/(1+j) + 525/(1+j)²

Sendo 1 + j = x, então

950 = 550/x + 525/x²

950x² = 550x + 525

950x² – 550x – 525 = 0

Dividindo todos os termos por 1000:

0,95x² – 0,55x – 0,525 = 0

Delta = (-0,55)² – 4.0,95.(-0,525) = 2,2975

A raiz deste delta é 1,52, como dado no enunciado.

Portanto,

1+j = x = (-(-0,55)+/-1,52)/ (2.0,95)

Olhando somente para o valor positivo, temos:

1 + j = (0,55 + 1,52)/(2.0,95)

1 + j = 1,0894

j = 8,94%

GABARITO: A (9%)

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